Question

（2012•浙江模擬）已知函數f（x）=（x²-ax+1）•e^x．
（I）當a=3時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）對任意b＞0，f（x）在區間[b-lnb，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）確定切點的坐標，求得切線的斜率，即可得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）先將對任意b＞0，f（x）在區間[b-lnb，+∞）上是增函數，轉化為f（x）在[1，+∞）上是增函數，再分類討論，即可確定實數a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=3時，f（x）=（x²-3x+1）•e^x，∴f′（x）=（x²-x-2）•e^x．
∴f′（1）=-2e；
∵f（1）=-e
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+e=-2e（x-1），即2ex+y-e=0；
（II）f′（x）=（x+1）（x+1-a）•e^x．
記g（x）=x-lnx（x＞0），則g′（x）=

x-1

x

∴g（x）在（1，+∞）上是增函數，在（0，1）是減函數
∴g（x）_min=g（1）=1-ln1=1
∵對任意b＞0，f（x）在區間[b-lnb，+∞）上是增函數，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數，
當a-1≤1，即a≤0時，顯然成立；
當a-1＞-1，即a＞0時，必修a-1≤1，即0＜a≤2
綜上，實數a的取值范圍為a≤2．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．