Question

設函數，其中，為正整數，、、均為常數，曲線在處的切線方程為.

（1）求、、的值；

（2）求函數的最大值；

（3）證明：對任意的都有.（為自然對數的底）

 

Answer 1

【答案】

（1），，；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用點在切線上，求出的值，由切線方程求出切線的斜率，從而得到的值，再結合題干的條件列方程組求出、、的值；（2）利用導數求出極值，利用極值與最值的關系求出最大值；（3）證法1是利用分析法將問題等價轉化為證明不等式，最后等價證明，利用換元法，構造新函數，只需證明不等式即可，利用導數，結合單調性進行證明；證法2是先構造新函數，證明在區間內成立，再令，得到，最終得到，再結合（2）中的結論得到.

試題解析：（1）由點在直線上，可得，即.

，.

又切線的斜率為，，，，；

（2）由（1）知，，故.

令，解得，即在上有唯一零點.

當時，，故在上單調遞增；

當時，，故在單調遞減.

在上的最大值.

（3）證法1：要證對任意的都有，只需證，

由（2）知在上有最大值，，故只需證.

即，即，①

令，則，①即，②

令，則，

顯然當時，，所以在上單調遞增，

，即對任意的②恒成立，

對任意的都有；

證法2：令，則.

當時，，故在上單調遞減；

而當時， ，故在上單調遞增.

在上有最小值，.

，即.

令，得，即，所以，即.

由（2）知，，故所證不等式成立.

考點：1.利用導數求切線方程；2.利用導數求函數的最值；3.函數不等式