Question

定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足，對任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且 對x∈（-1，0）時，f（x）＞0．
（1）證明函數f（x）是奇函數；
（2）證明函數f（x）在（-1，0）上是減函數；
（3）證明f(

1

n2+3n+1

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)(n∈N*)；
（4）比較f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)與f(

1

2

)的大小．

Answer 1

分析：（1）要判定函數f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）與f（x）的關系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，
（2）根據函數單調性的定義在（-1，1）上任意取兩個值x、y，然后判定f（x）與f（y）的大小關系，從而判定函數單調性；
（3）根據f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)求解f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)，通過化簡變形可得結論；
（4）根據第（3）問的結論可得f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)，然后判定f（

1

n+2

）的符合即可得到結論．

解答：解：（1）∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數．
（2）∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
當-1＜x＜y＜1時，

x-y

1-xy

＜0，由條件知 f(

x-y

1-xy

)＞0，
即f（x）-f（y）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是減函數，
又函數f（x）是奇函數，
∴函數f（x）在（-1，0）上是減函數．
（3）∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
∴f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)=f（

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

）=f(

1

n2+3n+1

)
∴原等式成立
（4）根據f(

1

n2+3n+1

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)(n∈N*)可知
f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)=f（

1

2

）-f（

1

n+2

）
∵x∈（-1，0）時，f（x）＞0，函數f（x）是奇函數
∴f（

1

n+2

）＜0
∴f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)=f（

1

2

）-f（

1

n+2

）＞f（

1

2

）

點評：本題主要考查抽象函數的奇偶性與單調性性，屬于中檔題，函數的奇偶性是函數在定義域上的“整體”性質，單調性是函數的“局部”性質，同時考查了性質的應用．