Question

某校從高二年級第一學期期末考試的學生中抽出50名學生，并統計了他們的數學成績（成績均為整數，滿分為100分），將數學成績進行分組并根據各組人數制成如下頻率分布表：

分 組	頻 數	頻 率
[40，50 ）	2	0.04
[50，60 ）	3	0.06
[60，70 ）	14	0.28
[70，80 ）	15	0.30
[80，90 ）	a	b
[90，100]	5	0.1
合 計	c	d

（Ⅰ）求a，b，c，d的值，并估計本次考試全校80分以上學生的百分比；
（Ⅱ）為了幫助成績差的同學提高數學成績，學校決定成立“二幫一”小組，即從成績為[90，100]中任選出兩位同學，共同幫助成績在[40，50）中的某一個同學，試列出所有基本事件；若A₁同學成績為43分，B₁同學成績為95分，求A₁、B₁兩同學恰好被安排在“二幫一”中同一小組的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，c為抽取人數之和，易得c=50，而d為各組頻率之和，則d=1，進而可得a、b的值，要估計本次全校80分以上學生比例，只需將計算[80，90）與[90，100）兩組頻率之和即可；
（Ⅱ）設成績為[90，100]中的同學分別為B₁、B₂、B₃、B₄、B₅，成績在[40，50）中的同學A₁、A₂，列舉所有基本事件，進而可得A₁、B₁兩同學恰好被安排在“二幫一”中同一小組的事件；由等可能事件的概率公式，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，共抽取了50人，則c=50，則d為各組頻率之和，d=1；
則a=50-2-3-14-15-5=11，b=1-0.04-0.06-0.28-0.30-0.1=0.22；
故a=11，b=0.22，c=50，d=1；
估計本次全校80分以上學生比例為0.22+0.1=0.32=32%；
（Ⅱ）依題意，成績為[90，100）中有5位同學，成績為[40，50）中有2位同學，
設成績為[90，100]中的同學分別為B₁、B₂、B₃、B₄、B₅，成績在[40，50）中的同學A₁、A₂，
試列出所有基本事件B₁B₂A₁，B₁B₂A₂，B₁B₃A₁，B₁B₃A₂，B₁B₄A₁，B₁B₄A₂，B₁B₅A₁，B₁B₅A₂，B₂B₃A₁，B₂B₃A₂，B₂B₄A₁，B₂B₄A₂，B₂B₅A₁，B₂B₅A₂，B₃B₄A₁，B₃B₄A₂，B₃B₅A₁，B₃B₅A₂，B₄B₅A₁，B₄B₅A₂；共計20種，
其中A₁、B₁兩同學恰好被安排在“二幫一”中同一小組的事件B₁B₂A₁，B₁B₃A₁，B₁B₄A₁，B₁B₅A₁，共4種
則其概率為P=

4

20

=

1

5

．

點評：本題考查等可能事件的概率計算、頻率分布表的運用以及列舉法的應用；注意列舉要做到不重不漏．