Question

（本小題滿分14分）
如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道，是直角頂點）來處理污水，管道越短，鋪設(shè)管道的成本越低.設(shè)計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上。已知米，米，記。

（Ⅰ）試將污水凈化管道的長度表示為的函數(shù)，并寫出定義域；
（Ⅱ）若，求此時管道的長度；
（Ⅲ）問：當取何值時，鋪設(shè)管道的成本最低？并求出此時管道的長度。

Answer 1

（Ⅰ） ，；
（Ⅱ）時，，；
（Ⅲ）當時，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時管道的長度為米。

本試題主要是考查了函數(shù)在實際函數(shù)中的運用。
（1），，
由于，，，，所以 ，。
（2）因為時，，
（3）=，設(shè),
則，由于，
構(gòu)造二次函數(shù)，求解最值。
解：（Ⅰ），，
由于，，，。3分
所以 ，……………………………5分
（Ⅱ）時，，；……………10分
（Ⅲ）=，設(shè),
則，由于，
所以 ，在 內(nèi)單調(diào)遞減，
于是當時. 的最小值米……………………13分
答：當時，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時管道的長度為米………14分