Question

在R上定義的函數f（x）是偶函數，且f（x）=f（2-x），若f（x）在區間[1，2]上是減函數，則f（x）在區間[4，5]上是

增

（填增．減）函數．

Answer 1

分析：根據f（x）是偶函數，則有f（-x）=f（x），結合f（x）=f（2-x），確定函數f（x）的周期性和對稱性，則利用周期性和對稱性即可確定f（x）在區間[4，5]上的單調性．

解答：解：∵f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）=f（2-x），則f（x）=f（x-2），即f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期函數，周期T=2，
設x∈[4，5]，則x-4∈[0，1]，
∴當x∈[4，5]時，f（x）=f（x-4），
∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）關于直線x=1對稱，
又∵f（x）在區間[1，2]上是減函數，根據對稱區間上單調性相反，
∴f（x）在[0，1]上是增函數，
∴函數f（x）在區間[4，5]上是單調增函數．
故答案為：增．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，考查函數利用函數奇偶性與對稱性研究函數的單調性，綜合考查了函數的性質的應用，以及對函數單調性的判斷與證明的掌握能力．屬于中檔題．