Question

已知圓C₁的方程為x²+（y-2）²=1，定直線l的方程為y=-1．動圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡M的方程；
（ II）直線l′與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線l'的垂線恰好經過點A（0，6），并交軌跡M于異于點P的點Q，記S為△POQ（O為坐標原點）的面積，求S的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為（x，y），動圓半徑為R，利用動圓C與圓C₁外切，且與直線l相切，可建立方程，化簡，即可得到動圓圓心C的軌跡M的方程；
（ II）確定點P坐標，直線PQ的方程與拋物線方程聯立，求得點Q的坐標，從而可求S的值．

解答：解：（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為（x，y），動圓半徑為R，
則|CC1|=

x2+(y-2)2

=R+1，且|y+1|=R…（2分）
可得 

x2+(y-2)2

=|y+1|+1…（3分）
由于圓C₁在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應該在直線l的上方，所以有y+1＞0，
∴

x2+(y-2)2

=y+2，整理得x²=8y，即為動圓圓心C的軌跡M的方程…（5分）
（ II）如圖示，設點P的坐標為(x0，

x02

8

)，則y=

x2

8

，y′=

1

4

x，kl=

x0

4

，…（6分）
k_PQ=-

4

x0

，所以直線PQ的方程為y=-

4

x0

x+6…（8分）
又kPQ=

x02 8 -6

x0

，
∴

x02 8 -6

x0

=-

4

x0

，x02=16．
∵點P在第一象限，∴x₀=4，--（9分）
點P坐標為（4，2），直線PQ的方程為y=-x+6．--------------（10分）
聯立

y=-x+6 x2=8y

得x²+8x-48=0，解得x=-12或4，
∴點Q的坐標為（-12，18）．
所以S=

1

2

|OA||xP-xQ|=48---------（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查曲線的切線，考查三角形的面積，考查直線與拋物線的位置關系，確定P、Q的坐標是關鍵．