Question

如圖，已知雙曲線的右準線交x軸于A，虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于P，過點A、B的直線與FP相交于點D，且（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若a=2，過點（0，-2）的直線l交該雙曲線于不同兩點M、N，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意可分別表示出點A、B、P、F的坐標，則直線AB的方程可表示出，把x=c代入求得y，則d點坐標可得，根據，可知，求得a和b的關系，進而求得a和c的關系，則雙曲線離心率可得．
（Ⅱ）根據（1）中a和b的關系式根據a可求得b，則雙曲線方程可得，設出直線l的方程與雙曲線方程聯立消去y，根據根據判別式求得k的范圍，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而表示出，根據k的范圍確定其取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）點A、B、P、F的坐標分別為，B（0，-b），，F（c，0），
直線AB的方程為，令x=c，則，知，
∵，∴，則，∴a=2b，
∴．

（Ⅱ）∵a=2，∴b=1，雙曲線的方程是，知直線l的斜率存在，
設直線l方程為y=kx-2，聯立方程組
得（1-4k²）x²+16kx-20=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由解得且．
∴，．=，
∵且，∴，
則的范圍是．
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了直線與圓錐曲線的位置關系．綜合考查了學生基礎知識的掌握和理解．