Question

如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面底面ABCD，且，若E，F分別為PC，BD的中點．

（1）求證：平面PAD；
（2）求證：平面PDC平面PAD；
（3）求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）先證，再根據線面平行的判定定理即可證明；
（2）先證，進而證明，再根據面面垂直的判定定理即可證明；
（3）

解析試題分析：（1）連接EF，AC
∵四棱錐中，底面ABCD是邊長為a的正方形且點F為對角線BD的中點，         
∴對角線AC經過F點，                                                      ……1分
又在中，點E為PC的中點，
∴EF為的中位線，
∴，                                                                  ……2分
又，                                                 ……3分
∴平面PAD.                                                               ……4分
（2）∵底面ABCD是邊長為的正方形 
∴   ，                                                                 ……5分
又側面底面ABCD，，側面底面ABCD=AD，
∴.                                                           ……7分
又
∴平面PDC平面PAD .                                                         ……8分
（3）過點P作AD的垂線PG，垂足為點G，
∵側面底面ABCD，，側面底面ABCD=AD，
∴，即PG為四棱錐的高，                            ……9分
又且AD=a，
∴ ，                                                                 ……10分
∴ 。                          ……12分

考點：本小題主要考查線面平行、面面垂直的證明和體積的計算.
點評：證明線面平行、面面垂直時要緊扣相應的判定定理和性質定理，定理中的條件要一一列出來，缺一不可，如證明線面平行時，要強調.