Question

已知a,b為正數,求證:
(1)若+1>,則對于任何大于1的正數x,恒有ax+>b成立.
(2)若對于任何大于1的實數x,恒有ax+>b成立,則+1>.

Answer 1

見解析

證明：(1)∵x>1,∴ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)².
∵+1>(b>0),
∴(+1)²>b.
即ax+>b.
(2)∵ax+>b對于大于1的實數x恒成立,
即x>1時,[ax+]_min>b,
而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)²,
當且僅當a(x-1)=,
即x=1+>1時取等號.
故[ax+]_min=(+1)².
則(+1)²>b,即+1>.