Question

已知圓A：（x-1）²+y²=4與x軸負半軸交于B點，過B的弦BE與y軸正半軸交于D點，且2BD=DE，曲線C是以A，B為焦點且過D點的橢圓．
（1）求橢圓的方程；
（2）點P在橢圓C上運動，點Q在圓A上運動，求PQ+PD的最大值．
[本小問為附加題，分值5分]（3）點P在橢圓C上運動，點Q在圓A上運動，求PQ+PD的最大值．

Answer 1

分析：（1）由B(-1，0)，D(0，

3

3

)，E(2，

3)

，能求出橢圓方程．
（2）PQ+PD≤（PA+2）+PD=（PA+PD）+2PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4 3

3

+DB=2

3

，由此能求出PQ+PD的最大值．

解答：解：（1）B(-1，0)，D(0，

3

3

)，E(2，

3)

橢圓方程為

3

4

x2+3y2=1…7分
（2）PQ+PD≤（PA+2）+PD
=（PA+PD）+2PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4 3

3

+DB=2

3

所以P在DB延長線與橢圓交點處，
Q在PA延長線與圓的交點處，
得到最大值為2+2

3

．    …15分

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．