Question

（2011•綿陽一模）己知函數f（x）=

a

x

-1（其中a是不為0的實數），g（x）=lnx，設F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）判斷函數F（x）在（0，3]上的單調性；
（Ⅱ）已知s，t為正實數，求證：t^te^x≥s^te^t（其中e為自然對數的底數）；
（Ⅲ）是否存在實數m，使得函數y=f（

2a

x2+1

）+2m的圖象與函數y=g（x²+1）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）求出F（x）的導函數，通過對參數a的討論，判斷出導函數的符號，進一步得到函數的單調性．
（II）先求出當a=1時F（x）的導函數，通過導函數判斷出函數的單調性，求出函數的最小值，得到F(

t

s

)≥F（1）=0，整理不等式得到所要證的不等式．
（III）由已知得f(

2a

x2+1

)+2m=g(x2+1)，分離出參數m，構造函數h（x），通過導數求出函數的單調性及極值，畫出函數h（x）的草圖，判斷出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=

a

x

-1+lnx．
F′（x）=

x-a

x2

，
①當a≤0時，F′（x）≥0，
∴F（x）在（0，3）上是增函數；
②當0＜a＜3時，x∈（0，a）時，F′（x）≤0，∴F（x）在（0，a）上是減函數；
x∈（a，3）時，F′（x）≥0，∴F（x）在（a，3）上是增函數．
③當a≥3時，F′（x）≤0，∴F（x）在（0，3）上是減函數．…（4分）
（Ⅱ）令a=1，則F（x）=

1

x

-1+lnx，于是F′（x）=

x-1

x2

，
∴F（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．
∴在區間（0，+∞）上F（x）有F（x）_min=F（1）=0．
∵F(

t

s

)≥F（1）=0，
即

s

t

-1+ln

t

s

≥0≥0，
整理得

t

s

≥e•e-

s

t

，即te

s

t

≥se，即t^te^s≥s^te^t．…（8分）
（III）由已知得f(

2a

x2+1

)+2m=g(x2+1)，代入整理得m=

1

2

ln(x2+1)-

x2

4

+

1

4

．
于是題意即為直線y=m與y=

1

2

ln(x2+1)-

x2

4

+

1

4

的圖象有4個不同的交點．
令h（x）=

1

2

ln(x2+1)-

x2

4

+

1

4

，
則h′(x)=

x(1-x)(1+x)

2(x2+1)

．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	↗	極大值 1 2 ln2	↘	極小值 1 4	↗	極大值 1 2 ln2	↘

可繪出h（x）的大致圖象如圖．
由圖象可知當m∈（

1

4

，

1

2

ln2）時滿足有四個不同的交點．
∴存在實數m∈(

1

4

，

1

2

ln2)時滿足條件．…（14分）

點評：本題考查通過利用導數解決函數在閉區間上的最值問題，若含參數一般需要討論；通過利用導數求函數的極值問題及單調性，進一步可畫出函數的草圖，解決兩個函數的交點個數問題，屬于難題．