Question

(12分) 已知函數=log_a(a＞0且a≠1)是奇函數

（1）求_，（

(2)討論在(1,+∞)上的單調性,并予以證明

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）當a＞1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為減函數;當0＜a＜1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為增函數

【解析】解:

（1）

（2）設u=,任取x₂＞x₁＞1,則

u₂－u₁=

=

=.

∵x₁＞1,x₂＞1,∴x₁－1＞0,x₂－1＞0.

又∵x₁＜x₂,∴x₁－x₂＜0.

∴＜0,即u₂＜u₁.

當a＞1時,y=log_ax是增函數,∴log_au₂＜log_au₁,

即f(x₂)＜f(x₁);

當0＜a＜1時,y=log_ax是減函數,∴log_au₂＞log_au₁,

即f(x₂)＞f(x₁).

綜上可知,當a＞1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為減函數;當0＜a＜1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為增函數.