Question

設函數f(x)=

1

x+1

，點A₀表示坐標原點，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

，θ_n是

an

與

i

的夾角，（其中

i

=(1，0)），設S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，則S_n=

n

n+1

．

Answer 1

分析：函數 f（x）=

1

x+1

，點An（n，f（n））（n∈N*），則能推導出Sn=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

，利用裂項求和即可

解答：解：函數 f（x）=

1

x+1

，點An（n，f（n））（n∈N*），則，點A0表示坐標原點，點An（n，f（n））（n∈N*），
若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

，θ_n是

an

與

i

的夾角
∴tanθ=

1

n+1 n

=

1

n(n+1)

∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，則
=

1

1×2

+

1

2×3

+…

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

故答案為：

n

n+1

點評：本題考查數列的極限和運算，裂項求數列的和，解題時要注意三角函數的靈活運用．