Question

已知正數數列{a_n}的前n 項和為S_n，且（p-1）S_n=p²-a_n，（n∈N^*，p＞0，p≠1），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若bn=

1

an+2

ln(

1

an+2

)，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）當p=

7

10

時，數列{b_n}中是否存在最小項？若存在說明是第幾項，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于正數數列{a_n}的前n 項和為S_n，且（p-1）S_n=p²-a_n，（n∈N^*，p＞0，p≠1），利用已知數列的前n項和求其通項的公式及等比數列的定義即可求得；
（2）有（1）再有若bn=

1

an+2

ln(

1

an+2

)，利用錯位相減法求得其前n項的和；
（3））當p=

7

10

時，由于要求數列{b_n}中是否存在最小項，假設存在并設為第n項，利用

bn≤bn-1 bn≤ bn+1

解出該不等式組即可．

解答：解：（1）當n=1時，（P-1）a₁=P²-a₁，∴a₁=P
當n≥2時，（P-1）S_n=P²-a_n①
            （P-1）S_n-1=P²-a_n-1②

由①-②得：

an

an-1

=

1

P

，
所以數列{an}是以a1=P為首項，公比為

1

P

的等比數列．
∴等比數列a_n=P^2-n
（2）bn=

1

an+2

ln(

1

an+2

)=PnlnPn=nPnlnP，

Sn=b1+b2++bn=lnP(P+2P2+3P3++nPn) 令Tn=P+2P2+3P3++nPn PTn=P+2P2+3P3++nPn+1 相減得：(1-P)Tn=P+P2+P3++Pn-nPn+1= P(1-Pn) 1-P

∴Tn=

P(1-Pn)

(1-P)2

-

nPn+1

1-P

∴Sn=[

P(1-Pn)

(1-P)2

-

nPn+1

1-P

]lnP．
（3）當P=

7

10

時，lnP＜0，令最小項為第n項，則：

bn≤bn-1 bn≤bn+1 ， nPnlnP≤(n-1)Pn-1lnP nPnlnP≤(n+1)Pn+1lnP ∴ nP≥n-1 n≥(n+1)P ，即： 7n≥10n-10 10n≥7n+7

∴ 7 3 ≤n≤ 10 3 ∴n=3

即數列{b_n}中的最小項為第3項．

點評：此題考查了等比數列的定義，已知數列的前n項和求數列的通項，錯位相減法求數列的前n項和，不等式的求解．