Question

已知：圓C過定點A（0，p），圓心C在拋物線x²=2py上運動，若MN為圓C在X軸上截和的弦，設|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=α．
（1）當點C運動時，|MN|是否變化？寫出并證明你的結論；
（2）求

l1

l2

+

l2

l1

的最大值，并求取得這個最大值時α的值和此時圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）先設出圓的方程，求出M，N兩點的坐標表示出|MN|即可發現|MN|的取值是否變化．
（2）先利用三角形的面積公式求出l1l2=

2p2

sinθ

，再利用余弦定理求出l₁²+l₂²的表達式．代入

l1

l2

+

l2

l1

整理為關于θ的函數，利用θ的范圍來求

l1

l2

+

l2

l1

的最大值和此時圓C的方程即可．

解答：解：（1）：由題意得：⊙C的方程（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-1）²．
把y=0和x₀²=2py₀代入整理得x²-2x₀x+x₀²+x_p²=0．
解之得方程的兩根分為
x₁=x₀-p，x₂=x₀+p．∴|MN|=|x₁-x₂|=2P．
∴點C運動時，|MN|不會變化，|MN|=2P（定值）
（2）設∠MAN=θ
∵S_△AMN=

1

2

l1•l2• sinθ=

1

2

|OA||MN|=p²，∴l1l2=

2p2

sinθ

∵l₁²+l₂²-2l₁l₂cosθ=4P²，∴l12+l22=4P2+

4P2

sinθ

cosθ=4P2(1+ctgθ)．
∴

l2

l1

+

l1

l2

=

l12+l22

l1l2

=

4P2(1+ctgθ)sinθ

2P2

=2

2

sin(θ+

π

4

)．
∵只有當C在O點處時，θ為直徑上圓周角，其他時候都是劣弧上的圓周角．
∴0＜θ≤

π

2

，
故當θ=

π

4

時，原式有最大值2

2

．
∵∠MAN=

π

4

，∴∠MCN=2∠MAN=

π

2

∴y₀=P，x₀=±

2

P，r=

2

P．
所求圓的方程為(x-

2

p)2+(y-p)2=2p2或((x+

2

p)2+(y-p)2=2p2．

點評：本題是對圓與拋物線以及余弦定理，三角形面積公式等知識的綜合考查，做這一類型題，讀題很關鍵．