Question

如圖，A地到火車站共有兩條路徑L₁和L₂，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：

時間(分鐘)	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的頻率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的頻率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．
(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針地(1)的選擇方案，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

(1) 甲應選擇L_1，乙應選擇L₂
(2) X的分布列為

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

1.5

解析解：(1)A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，40分鐘內趕到火車站”，B_i表示事件“乙選擇路徑L_i時，50分鐘內趕到火車站”，i＝1,2用頻率估計相應的概率可得
P(A₁)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A₂)＝0.1＋0.4＝0.5.
∵P(A₁)＞P(A₂)，∴甲應選擇L₁，
P(B₁)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B₂)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B₁)＞P(B₂)，
∴乙應選擇L₂.
(2)A、B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9又由題意知，A，B獨立，
∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04，
P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42.
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

∴EX＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5