Question

（文）如圖點(diǎn)P為橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上的動(dòng)點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若∠AFP=60°，求PF所在直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)|PQ|；
（Ⅱ） ）求PF中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：由題意可得，A（-3，0），F(xiàn)（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直線PF的傾斜角為60°或120°即直線PF的斜率，求出直線PF的方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入公式|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4(x1-x2)2

=2

(x1+x2)2-4x1x2

（2）設(shè)M（x，y），P（m，n），由中的坐標(biāo)公式可表示M，結(jié)合

m2

9

+

n2

5

=1，可求點(diǎn)M的軌跡方程

解答：解：由題意可得，c²=9-5=4即c=2
∴A（-3，0），F(xiàn)（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直線PF的傾斜角為60°或120°即直線PF的斜率為

3

或-

3

以k=

3

為例，則直線PF的方程為y=

3

(x-2)，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y= 3 (x-2) x2 9 + y2 5 =1

可得32x²+108x+63=0
∴x1+x2=-

27

8

，x1x2=

63

32

∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4(x1-x2)2

=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

729 64 -4× 63 32

=

15

4

根據(jù)對(duì)稱性可知，k=-

3

時(shí)|PQ|=

15

4

（2）設(shè)M（x，y），P（m，n），F(xiàn)（2，0）則

m2

9

+

n2

5

=1，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，

x= 2+m 2 y= n 2

即

m=2x-2 n=2y

代入到方程

m2

9

+

n2

5

=1，可得

4(x-1)2

9

+

4y2

5

=1
∴點(diǎn)M的軌跡方程

4(x-1)2

9

+

4y2

5

=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及利用相關(guān)點(diǎn)法求解點(diǎn)的軌跡方程，屬于綜合性試題