Question

已知f（x）=loga

1-kx

x-1

（a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求k的值，并求該函數的定義域；
（2）根據（1）的結果，判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性；
（3）解關于x的不等式f（x²+2x+2）+f（-2）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）為奇函數可知f（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可求得k．利用真數為正，求出定義域．
（2）利用函數單調性的定義，通過對a分類討論判斷出f（x）的單調性．
（3）對a分類討論，利用函數的單調性脫去對數符號，解不等式求出解集．

解答：解：（1）f(x)是奇函數，f(x)=-f(-x)=-loga

1+kx

-x-1

=loga

-x-1

1+kx

∴

1-kx

x-1

=

-x-1

1+kx

，x2-1=(kx)2-1
∴（k²-1）x²=0，又k≠1∴k=-1；
∴f(x)=loga

x+1

x-1

由

x+1

x-1

＞0，得（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-1
∴f（x）的定義域為{x|x＜-1或x＞1}．
（2）設x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=loga

x2+1

x2-1

-loga

x1+1

x1-1

=loga(

x2+1

x2-1

•

x1-1

x1+1

)=loga

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1.0＜

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

＜1．
當a＞1時，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是減函數；
當0＜a＜1時，f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函數．
（3）原不等式即為f（x²+2x+2）＞f（2）． 當a＞1時 得出，1＜x²+2x+2＜2，解得2＜x＜0，且x≠-1．
當0＜a＜1時，得出x²+2x+2＞2，解得 x＜-2，或x＞0．

點評：本題考查函數奇偶性、單調性的定義、利用對數函數的單調性解對數不等式、分類討論的數學思想，考查推理論證、計算能力．