Question

在△ABC中，已知三內角∠A、∠B、∠C成等差數列，其對邊分別為a、b、c，且c-a等于邊AC上的高h．則sin

C-A

2

=

1

2

．

Answer 1

分析：由三角形的三內角成等差數列，根據等差數列的性質得到2B=A+C，再根據三角形的內角和定理可求出B的度數，進而得到sinB及cosB的值，由sinB，AB及BC，底邊AC及AC邊上的高h=c-a，利用三角形的面積公式列出等式，再利用正弦定理轉化，利用和差化積公式與積化和差公式即可．

解答：解：∵A、B、C成等差數列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，又AB=c，BC=a，
∵三角形的面積S=

1

2

acsin60°=

1

2

bh=

1

2

b•（c-a），
∴acsin60°=b•（c-a），
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：sinAsinCsin60°=sinB•（sinC-sinA），而B=60°，
∴sinAsinC=sinC-sinA=2cos

C+A

2

•sin

C-A

2

=2×cos60°sin

C-A

2

=sin

C-A

2

；
而左邊sinAsinC=-

1

2

[cos（A+C）-cos（A-C）]=-

1

2

×（-

1

2

）+

1

2

cos（A-C）=

1

4

+

1

2

（1-2sin2

C-A

2

），
∴

1

4

+

1

2

（1-2sin2

C-A

2

）=sin

C-A

2

，令t=sin

C-A

2

，則0≤t≤1
則t²+t-

3

4

=0，解得t=

1

2

或t=-

3

2

（舍）．
∴sin

C-A

2

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：等差數列的性質，正弦定理及三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，和差化積公式與積化和差公式，熟練掌握三角函數公式是解本題的關鍵，是難題．