Question

已知向量

a

=（x²，x+1），

b

=（1-x，t），若函數f（x）=

a

•

b

在區間（-1，1）上是增函數，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：本題可以先用數量積的運算計算出f（x），在對f（x）丟導數判斷函數的單調性轉化為f'（x）在區間（-1，1）上恒成立，進而解決．

解答：解法1：依定義f（x）=x²（1-x）+t（x+1）=-x³+x²+tx+t，則f′（x）=-3x²+2x+t．
若f（x）在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上f'（x）≥0恒成立．
∴f′（x）≥0?t≥3x²-2x，在區間（-1，1）上恒成立，
考慮函數g（x）=3x²-2x，由于g（x）的圖象是對稱軸為x=

1

3

，開口向上的拋物線，
故要使t≥3x²-2x在區間（-1，1）上恒成立?t≥g（-1），即t≥5．
而當t≥5時，f′（x）在（-1，1）上滿足f′（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上是增函數；
故t的取值范圍是t≥5．

點評：導數是判斷函數的單調性或者解決單調性的逆向問題很好的工具，另外注意分離參數來求參數的范圍是解決這類題型比較常用的方法．