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已知函數數學公式+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的導函數．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（1，f（x））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）設g（x）=f'（x）-ax-4，若對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立，求x的取值范圍．

解：（Ⅰ）f'（x）=4x2+a，
f'（1）=4+a=2，
所以a=-2．

（Ⅱ）g（x）=f'（x）-ax-4=4x2-ax+a-4，
令φ（a）=（1-x）a+4x2-4，
因為對一切|a|≤1，
都有g（x）＜0恒成立等價于對一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立．
所以即解得．
則當時，對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立．
分析：（I）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率與直線2x-y+1=0的斜率相等，從而求出a的值；
（II）先求出函數g（x）的解析式，令φ（a）=（1-x）a+4x2-4，因為對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立等價于對一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立，然后建立不等關系，解之即可求出x的取值范圍．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知φ(x)=
a
x+1
，a為正常數．（e=2.71828…）；
（理科做）（1）若f(x)=lnx+φ(x)，且a=
9
2
，求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值與最小值
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2都有
g(x2)-g(x1)
x2-x1
＜-1，求a的取值范圍．
（文科做）（1）當a=2時描繪?（x）的簡圖
（2）若f(x)=?(x)+
1
?(x)
，求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值與最小值．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年黑龍江省哈爾濱三中高二（下）第二次段考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數
（1）若x=e為y=f（x）-2ex-ax的極值點，求實數a的值
（2）若x是函數f（x）的一個零點，且x∈（b，b+1），其中b∈N，則求b的值
（3）若當x≥1時，求c的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2011年湖北省荊州市松滋二中高考數學限時訓練（解析版） 題型：解答題

（理科）已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，若函數在區間（t，3）上有最值，求實數m取值范圍；
（3）求證：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）
（文科） 已知函數
（1）若x=-1是f（x）的極值點且f（x）的圖象過原點，求f（x）的極值；
（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數b，使得函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點？若存在，求出實數b的取值范圍；否則說明理由．

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科目：高中數學 來源：2008年北京市朝陽區高考數學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的導函數．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（1，f（x））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）設g（x）=f'（x）-ax-4，若對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立，求x的取值范圍．

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