Question

已知圓M過定點D（0，2），圓心M在二次曲線y=

1

4

x2上運動．
（1）若圓M與y軸相切，求圓M方程；
（2）已知圓M的圓心M在第一象限，半徑為

5

，動點Q（x，y）是圓M外一點，過點Q與 圓M相切的切線的長為3，求動點Q（x，y）的軌跡方程；
（3）若圓M與x軸交于A，B兩點，設|AD|=a，|BD|=b，求

b

a

的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）圓心M(±2

2

，2)，半徑r=2

2

，由此能求出圓M方程．
（2）設圓心M(2

m

，m)，則|MD|=

4m+(m-2)2

=

5

．由此得到圓M的方程為：（x-2）²+（y-1）²=5．設QP于圓M相切，切點為P，則|QM|²=|QP|²+|MP|²=14，由此能求出動點Q的軌跡方程．
（3）設圓心M（2m，m²），可知圓M方程為：（x-2m）²+（y-m²）²=4m²+（m²-2）²，取y=0，得x=2m±2，取A（2m+2，0），B（2m-2，0），則(

b

a

)2=

(2m-2)2+4

(2m+2)2+4

=1-4•

m

m2+2m+2

，由此能求出

b

a

的取值范圍．

解答：解：（1）設圓心M（x，y），
∵圓M過定點D（0，2），且圓M與y軸相切，
∴直線MD⊥y軸，
∴kMD=

y-2

x-0

=0，
∴y=2，
∵圓心M在二次曲線y=

1

4

x2上運動，
∴M（x，2）在y=

1

4

x2上，
∴2=

1

4

x2，
解得x=±2

2

，
∴圓心M(±2

2

，2)，半徑r=|DM|=

(±2 2 -0)2+(2-2)2

=2

2

，
∴圓M方程為：(x±2

2

)2+(y-2)2=8．…（4分）
（2）設圓心M(2

m

，m)，
則|MD|=

4m+(m-2)2

=

5

解得m=1，
所以圓M的方程為：（x-2）²+（y-1）²=5
設QP于圓M相切，切點為P，
則|QM|²=|QP|²+|MP|²=14
所以動點Q的軌跡方程是（x-2）²+（y-1）²=14…．（9分）
（3）設圓心M（2m，m²），
可知圓M方程為：（x-2m）²+（y-m²）²=4m²+（m²-2）²
取y=0得x=2m±2，
不妨取A（2m+2，0），B（2m-2，0），
則(

b

a

)2=

(2m-2)2+4

(2m+2)2+4

=1-4•

m

m2+2m+2

若m≠0，
有

m

m2+2m+2

=

1

m+ 2 m +2

∈[-

2 +1

2

，0)∪(0，

2 -1

2

]，
則(

b

a

)2∈[3-2

2

，3+2

2

]，
故所求

b

a

的取值范圍為[

2

-1，

2

+1]…..（14分）

點評：本題考查圓的方程的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．