Question

（本題滿分12分）已知定義在區間（0，+∞）上的函數f(x)滿足f(+f(x₂)=f(x₁)，且當x＞1時，f(x)＜0.

（1）求f(1)的值；

（2）判斷f(x）的單調性并加以證明；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)>-2.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(1)=0.（2）函數f(x)在區間(0,+∞)上是單調遞減函數.

（3）{x| -9<x＜0或0<x＜9}.

【解析】本試題主要是考查了函數的單調性和不等式的解集，

（1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0.

（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,則＞1,由于當x＞1時，f(x)＜0,

所以f＜0,即f (x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),

（3）由題意有f=f(x₁)-f(x₂)，則f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2進而求解不等式。

解 （1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0. ……………………3分

（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,則＞1,由于當x＞1時，f(x)＜0,

所以f＜0,即f (x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),

所以函數f(x)在區間(0,+∞)上是單調遞減函數.……………………7分

（3）由題意有f=f(x₁)-f(x₂)，則f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. ………………9分由于函數f(x)在區間（0,+∞）上是單調遞減函數，

由f(|x|)>f(9),得|x|<9,∴-9<x＜9. ……………………11分

又因為|x|>0,因此不等式的解集為{x| -9<x＜0或0<x＜9}.……………………12分