Question

如圖，三條平行直線l₁，l，l₂把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個區域（不含邊界），且直線l到l₁，l₂的距離相等．點O在直線l上，點A、B在直線
l₁上，P為平面區域內一點，且

OP

=λ1

OA

+λ2

OB

(λ1，λ2∈R)，給出下列四個命題：
（1）若λ₁＞1，λ₂＞1，則點P位于區域Ⅰ；
（2）若點P位于區域Ⅱ，則λ₁+λ₂＞1；
（3）若點P位于區域Ⅲ，則-1＜λ₁+λ₂＜0；
（4）若點P位于區域IV，則λ₁+λ₂＜-1；
則所有正確命題的序號為

（1）（3）（4）

．

Answer 1

分析：利用平面向量的基本定理和平行四邊形法則、共線定理，并分類討論即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，若λ₁＞1，λ₂＞1，

OP

=λ1

OA

+λ2

OB

=λ

OP1

=λ(

OA

+

OB

)，
則點P位于區域Ⅰ，正確；
（2）取λ1=

1

4

，λ2=

1

4

，
則

OP

=

1

4

OA

+

1

4

OB

=

1

4

(

OA

+

OB

)，其點P位于區域II內，但是λ1+λ2=

1

2

＜1，因此（2）不正確；
（4）分別作

OM

=-

OA

，

ON

=-

OB

，平行四邊形OMEN．
OE∩MN=F．則

OF

=

1

2

(

OM

+

ON

)=-

1

2

(

OA

+

OB

)，
此時λ₁+λ₂=-1．
在直線MN上任取一點Q，則

OQ

=

OF

+

FQ

=-

1

2

(

OA

+

OB

)+λ

NM

=-

1

2

(

OA

+

OB

)+λ(

OM

-

ON

)=-

1

2

(

OA

+

OB

)+λ(-

OA

+

OB

)=(-

1

2

-λ)

OA

+(-

1

2

+λ)

OB

，此時λ₁+λ₂=-1．
在區域IV內，任取一點P′，不妨設

OP′

=λ

OQ

=λ(λ1

OA

+λ2

OB

)=λλ1

OA

+λλ2

OB

，
則λλ₁+λλ₂=-λ＜-1．因此正確．
（3）由（4）可知：點P位于區域IV，則λ₁+λ₂＜-1；點P位于直線l₂上時，λ₁+λ₂=-1．
于是可得：點P位于區域Ⅲ，則-1＜λ₁+λ₂＜0．
綜上可知：只有（1）（3）（4）正確．
故答案為：（1）（3）（4）正確．

點評：本題綜合考查了平面向量的基本定理和平行四邊形法則、共線定理、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．