Question

設△ABC的外心為O（三角形外接圓的圓心），其外接圓半徑為1，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以OC，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．若

OA

=a，

OB

=b，

OC

=c．
（1）用a，b，c表示

OH

；
（2）求證：點H為△ABC的垂心；
（3）設△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求|

OH

|．

Answer 1

分析：（1）利用向量的運算法則：三角形法則求出

OH

（2）先將

AH

用

a

，

b

，

c

表示，利用向量的數量積公式求出

AH

•

BC

，利用向量垂直的充要條件得到AH⊥BC，同理得到CH⊥AB，利用三角形垂心的定義得證
（3）利用向量的模的平方等于向量的平方及圓的圓周角等于圓心角的一半，利用向量的數量積公式，求出

OH

的模，

解答：解：（1）

OH

=

OC

+

OD

=

OC

+(

OA

+

OB

)=

a

+

b

+

c

（2）

AH

=

AO

+

OH

=-

a

+(

a

+

b

+

c

)=

b

+

c

BC

=-

b

+

c

則

AH

•

BC

=(

b

+

c

)•(

c

-

b

=|

c

|2-|

b

|2
因為O為外心，且外接圓半徑為1，所以|

c

|=|

b

|=1
∴

AH

•

BC

=|

c

|2-|

b

|2
則

AH

⊥

BC

，即AH⊥BC
同理可得：CH⊥AB
所以，點H為△ABC的垂心；
（3）|

OH

|2=(

a

+

b

+

c

)  2=

a2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

b

•

c

+2

c

•

a

=1+1+1+2×1×1×cos∠AOB+2×1×1×cos∠BOC+2×1×1×cos∠COA=3+2（cos∠AOB+cos∠BOC+cos∠COA）
∵∠A=60°∴∠BOC=120°（圓心角是圓周角的兩倍）
∴cos∠BOC=-

1

2

同理可得，cos∠AOC=0，  cos∠AOB=-

3

2

∴|

OH

|2=2-

3

∴|

OH

|=

2- 3

=

6 - 2

2

點評：本題考查向量的運算法則、向量的數量積公式、向量垂直的充要條件、向量的模的平方等于向量的平方、圓的圓心角等于圓周角的二倍．