Question

已知函數f（x）=ln x-

b

x

（b為實數）
（1）若b=-1，求函數f（x）的極值；
（2）若函數M（x）滿足M（x）≥N（x）恒成立，則稱M（x）是N（x）的一個“上界函數”．
①如果函數f（x）為g（x）=-Inx的一個“上界函數”，求b的取值范圍；
②若b=0，函數F（x）的圖象與函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱，求證：當x∈（-2，+∞）時，函數F（x）是函數y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一個“上界函數”．

Answer 1

分析：（1）求導函數后，令其為零，解出x，再驗證是否為極值即可；
（2）①由新定義知，f（x）≥g（x）在其定義域上恒成立，即ln x-

b

x

≥-lnx，亦即2ln x-

b

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，即有（2ln x-

b

x

）_極小值≥0，解出b即可；
②若b=0，則函數f（x）=ln x，由題意知，函數F（x）=e^x，要證明當x∈（-2，+∞）時，函數F（x）是函數y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一個“上界函數”．只需證ex≥f(

x

2

+1)+

x

2

+1在x∈（-2，+∞）時，恒成立即可．

解答：解：（1）由于b=-1，則函數f（x）=ln x+

1

x

，得到f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

令f′（x）=0，則x=1，
由于當0＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
故函數f（x）在x=1處取得極小值，且極小值為1；
（2）①由“上界函數”定義知，函數f（x）為g（x）=-lnx的一個“上界函數”?f（x）≥g（x）在其定義域上恒成立，
即ln x-

b

x

≥-lnx，亦即2ln x-

b

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
令H（x）=2ln x-

b

x

，則H′(x)=

2

x

+

b

x2

=

2x+b

x2

，
當b≥0時，H′（x）＞0，則H（x）=2ln x-

b

x

在（0，+∞）上遞增，顯然不滿足（2ln x-

b

x

）_極小值≥0；
當b＜0時，令H′（x）＞0，得到x＞-

b

2

則H（x）=2ln x-

b

x

在（0，-

b

2

）上遞減，在（-

b

2

，+∞）上遞增，
故（2ln x-

b

x

）_極小值=2ln（-

b

2

）-

b

- b 2

=2ln（-

b

2

）+2≥0，解得b≤-

2

e

，
故若函數f（x）為g（x）=-lnx的一個“上界函數”，b的取值范圍為b≤-

2

e

；
②證明：由于b=0，則f（x）=ln x，又由函數F（x）的圖象與函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱，則函數F（x）=e^x，
當x∈（-2，+∞）時，令G（x）=F（x）-[f(

x

2

+1)+

x

2

+1]=ex-ln(

x

2

+1)-

x

2

-1，則G′(x)=ex-

1

x+2

-

1

2

若令G′（x）=0，解得x=0，故G（x）在（-2，0）上單調遞減，（0，+∞）上單調遞增，
則[G(x)]最小值=G(0)=e0-ln1-1=0
故當x∈（-2，+∞）時，G（x）≥0恒成立，
即當x∈（-2，+∞）時，函數F（x）是函數y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一個“上界函數”．

點評：此題考查學生會利用導數研究函數的極值，掌握導數在最大值、最小值問題中的應用，考查了分類討論和數形結合的數學思想，是一道中檔題．