Question

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點.

（1）求證：MN⊥AB，MN⊥CD；

（2）求MN的長；

（3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值.

Answer 1

（1）證明略（2）MN的長為a.    （3）異面直線AN與CM所成角的余弦值為

解析:

（1）設=p, =q，=r.

由題意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.

=-=（+）-

=（q+r-p），                                                                                                       2分

∴·=（q+r-p）·p

=（q·p+r·p-p²）

=（a²·cos60°+a²·cos60°-a²）=0.

∴MN⊥AB,同理可證MN⊥CD.                                                                              4分

（2）由（1）可知=（q+r-p）

∴||²=²=（q+r-p）²                                                                                  6分

=［q²+r²+p²+2（q·r-p·q-r·p）］

=[a²+a²+a²+2（--）

=×2a²=.

∴||=a,∴MN的長為a.                                                                            10分

(3)  設向量與的夾角為.

∵=(+)=(q+r),

=-=q-p,

∴·=（q+r）·（q-p）

=（q²-q·p+r·q-r·p）

=(a²-a²·cos60°+a²·cos60°-a²·cos60°)

=（a²-+-）=.                                                                                   12分

又∵||=||=，

∴·=||·||·cos

=··cos=.

∴cos=，                                                                                                   14分

∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.