Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N^*其中a，c為實數，且c≠0
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）設a=

1

2

，c=

1

2

，b_n=n（1-a_n），n∈N^*，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1對任意n∈N^*成立，求實數c的范圍．（理科做，文科不做）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題設條件進行恒等變形，構造a_n-1=c（a_n-1-1），利用迭代法，即可求數列的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論求出數列的通項，利用錯位相減法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的結論知a_n=（a-1）c^n-1+1．接合題設條件得0＜c^n-1＜

1

1-a

，再用反證法得出c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題設得：n≥2時，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．
所以a_n=（a-1）c^n-1+1．
當n=1時，a₁=a也滿足上式．
故所求的數列{a_n}的通項公式為：a_n=（a-1）c^n-1+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=n（1-a_n）=n•(

1

2

)n
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n
∴

1

2

S_n=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
∴兩式相減可得

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴S_n=2-(2+n)•(

1

2

)n
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，則0＜（1-a）c^n-1＜1．
因為0＜a₁=a＜1，∴0＜c^n-1＜

1

1-a

（n∈N₊）．
由于c^n-1＞0對于任意n∈N₊成立，知c＞0．
下面用反證法證明c≤1．
假設c＞1，由函數f（x）=c^x的圖象知，當n→+∞時，c^n-1→+∞，
所以c^n-1＜

1

1-a

不能對任意n∈N₊恒成立，導致矛盾．
∴c≤1，因此0＜c≤1．

點評：本題主要考查數列的概念、數列通項公式的求法以及不等式的證明等，考查運算能力，屬于中檔題．