Question

（本題滿分14分）

如圖，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且．

（1）求證：四點共面；（4分）

（2）若點在上，，點在上，，垂足為，求證：平面；（4分）

（3）用表示截面和側面所成的銳二面角的大小，求．（4分

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）略

（3）；

【解析】（1）如圖，在上取點，使，連結， 

，則，．

因為，，所以四邊形，都為平行四邊形．

從而，．

又因為，所以，故四邊形是平行四邊形，

由此推知，從而．

因此，四點共面．

（2）如圖，，又，所以，

．

因為，所以為平行四邊形，從而．

又平面，所以平面．

（3）如圖，連結

因為，，

所以平面，得．

于是是所求的二面角的平面角，即．

因為，所以

，

．

解法二：

（1）建立如圖所示的坐標系，則，，，

所以，故，，共面．

又它們有公共點，所以四點共面．

（2）如圖，設，則，

而，由題設得，

得．

因為，，有，

又，，所以，

，從而，．

故平面．

（3）設向量截面，

于是，．

而，，得，

，解得，，所以．

又平面，

所以和的夾角等于或（為銳角）．

于是．

故．