Question

18、如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB⊥AC，點M是棱BB₁上一點．
（1）求證：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求證：MD⊥AC．

Answer 1

分析：（1）欲證B₁D₁∥面A₁BD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證B₁D₁與面A₁BD內一直線平行，易證BB₁D₁D是平行四邊形，則B₁D₁∥BD，而BD?面A₁BD，B₁D₁?面A₁B，滿足定理所需條件；
（2）因BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，根據線面垂直的性質可知BB₁⊥AC，而BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，滿足線面垂直的判定定理所需條件，則AC⊥面BB₁D，而MD?面BB₁D，從而得到結論．

解答：證明：（1）由直四棱柱，得BB₁∥DD且BB₁=DD₁，
所以BB₁D₁D是平行四邊形，
所以B₁D₁∥BD
而BD?面A₁BD，B₁D₁?面A₁B，
所以B₁D₁∥面A₁BD
（2）因為BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
則BB₁⊥AC
又因為BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，
故AC⊥面BB₁D
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC．

點評：本題主要考查線面平行的判定，以及線面垂直的性質，同時考查了推理論證的能力，屬于基礎題．