Question

設函數f（x）=

1             (x≤ 3 ) 4-x2 ( 3 ＜x＜2) 0              (x≥2)

，則

∫

2010 -1

f（x）dx的值為

π

3

+

2+ 3

2

．

Answer 1

分析：題目給出的是分段函數，求其積分時，分成3段，兩個常數函數f（x）=0和f（x）=1的原函數分別為y=x和y=0，求函數f（x）=

4-x2

在（

3

，2）上的積分，可借助于其幾何意義，
求圓x²+y²=4被直線x=

3

，x=2和x軸所截得的第一象限內的曲面面積．

解答：解：

∫

2010 -1

f(x)dx

=∫

3 -1

f(x)dx

+∫

2 3

f(x)dx

+∫

2010 2

f(x)dx
=

∫

3 -1

1•dx+

∫

2 3

4-x2

dx+

∫

2010 2

0•dx=x

|

3 -1

+（

1

2

×

π

3

×2-

1

2

×

3

×1）+（c-c）=（

3

+1)+（

π

3

-

3

2

）
=

π

3

+

3

2

+1=

π

3

+

2+ 3

2

．
故答案為

π

3

+

2+ 3

2

．

點評：本題考查了分段函數的定積分，解答的關鍵是，當被積函數為分段函數時，也需函數的定義的分段情形相應的逐段積分．