Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點F、T、M、P滿足

OF

=(1，0)，

OT

=(-1，t)，

FM

=

MT

，

PM

⊥

FT

，

PT

∥

OF

．
（Ⅰ）當t變化時，求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點F的直線交曲線C于A，B兩點，求證：直線TA、TF、TB的斜率依次成等差數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），依據題意可推斷出M是線段FT的中點，則M的坐標可推斷出，進而利用

PM

⊥

FT

，求得x，y和t的關系式；同時利用

PT

∥

OF

求得t和y的另一關系式，最后消去t即可求得x和y的關系．
（Ⅱ）設直線TA，TF，TB的斜率依次為k₁，k，k₂，并記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設出直線AB的方程與拋物線方程聯立消去x，利用韋達定理表示出y₁+y₂和2y₁y₂，進而表示出y₁²+y₂²，進而化簡k₁+k₂得2k，判斷出k₁，k，k₂成等差數列．

解答：解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），
由

FM

=

MT

，得點M是線段FT的中點，則M(0，

t

2

)，

PM

=(-x，

t

2

-y)，
又

FT

=

OT

-

OF

=(-2，t)，

PT

=(-1-x，t-y)，
由

PM

⊥

FT

，得2x+t(

t

2

-y)=0，①
由

PT

∥

OF

，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，∴t=y②
由①②消去t，得y²=4x即為所求點P的軌跡C的方程
（Ⅱ）證明：設直線TA，TF，TB的斜率依次為k₁，k，k₂，并記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k=-

t

2

設直線AB方程為x=my+1

y2=4x x=my+1

，得y²-4my-4=0，∴

y1+y2=4m y1•y2=-4

，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=16m²+8，
∴k1+k2=

y1-t

x1+1

+

y2-t

x2+1

=

(y1-t)( y 2 2 4 +1)+(y2-t)( y 2 1 4 +1)

( y 2 1 4 +1)( y 2 2 4 +1)

=

4y1y2(y1+y2)-4t( y 2 1 + y 2 2 )+16(y1+y2)-32t

y 2 1 y 2 2 +4( y 2 1 + y 2 2 )+16

=-t=2k
∴k₁，k，k₂成等差數列

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．考查了考生綜合分析問題的能力和基本的計算能力．