Question

設是由個實數組成的行列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”.
(Ⅰ) 數表如表1所示，若經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）；  
表1

1	2	3
	1	0	1

 
(Ⅱ) 數表如表2所示，若經過任意一次“操作”以后，便可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數的所有可能值；
表2

(Ⅲ)對由個整數組成的行列的任意一個數表，能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) 詳見解析；(Ⅱ)  ；(Ⅲ) 能，理由詳見解析．

解析試題分析：（I）根據題中一次“操作”的含義，將原數表改變第4列，再改變第2行即可；或者改變第2行，改變第4列也可得（寫出一種即可）；（II）  每一列所有數之和分別為2，0，-2，0，每一行所有數之和分別為-1，1；①如果操作第三列，第一行之和為2a-1，第二行之和為5-2a，列出不等關系解得a，b；②如果操作第一行，很快即可有條件解得a值；（III） 按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和），由負整數變為正整數，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數陣中mn個數之和增加．
試題解析：（I）
法1：

法2：

法3：

（寫出一種即可）                                                        3分
(II)  每一列所有數之和分別為2，0，，0，每一行所有數之和分別為，1;
①如果操作第三列，則

則第一行之和為，第二行之和為，
,解得.                            6分
② 如果操作第一行
          
則每一列之和分別為，，，，以上四數均為非負數
解得                                                   9分
綜上                                                   10分
(III) 證明：按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和）由負整數變為正整數，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數陣中個數之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，顯然，數表中個數之和必然小于等于，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止,終止之時必然所有的行和與所有的列和均為非負整數，故結論成立        13分
考點：推理與證明．