Question

關于數列有下列四個判斷：
①若a，b，c，d成等比數列，則a+b，b+c，c+d也成等比數列；
②若數列{a_n}是等比數列，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n…也成等比數列；
③若數列{a_n}既是等差數列也是等比數列，則{a_n}為常數列；
④數列{a_n}的前n項的和為S_n，且Sn=an-1(a∈R)，則{a_n}為等差或等比數列；
⑤數列{a_n}為等差數列，且公差不為零，則數列{a_n}中不會有a_m=a_n（m≠n）．
其中正確命題的序號是

②③④⑤

．（請將正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①1，-1，1，-1成等比數列，但1-1，-1+1，1-1不成等比數列；
②根據等比數列前n項和的性質，可知結論正確；
③數列{a_n}是等比數列，所以an=a1qn-1，an+1=a1qn，從而an+1-an=a1qn-1(q-1)，根據若數列{a_n}是等差數列，即可得到{a_n}為常數列；
④數列{a_n}的前n項的和為S_n，且Sn=an-1(a∈R)，則n≥2時，an=Sn-Sn-1 =(a-1)an-1，當n=1時，結論也成立．當a=0時，{a_n}為等差數列；當a≠0時，{a_n}為等比數列；
⑤數列{a_n}為等差數列，所以a_m-a_n=（m-n）d，根據公差不為零，m≠n，可得a_m≠a_n．

解答：解：①1，-1，1，-1成等比數列，但1-1，-1+1，1-1不成等比數列，所以①不正確；
②根據等比數列前n項和的性質，可知若數列{a_n}是等比數列，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n…也成等比數列，所以②正確；
③數列{a_n}是等比數列，所以an=a1qn-1，an+1=a1qn，∴an+1-an=a1qn-1(q-1)
∵若數列{a_n}是等差數列，∴q=1，∴{a_n}為常數列，∴③正確；
④數列{a_n}的前n項的和為S_n，且Sn=an-1(a∈R)，則n≥2時，an=Sn-Sn-1 =(a-1)an-1，當n=1時，結論也成立．當a=0時，{a_n}為等差數列；當a≠0時，{a_n}為等比數列，所以④正確；
⑤數列{a_n}為等差數列，∴a_m-a_n=（m-n）d，∵公差不為零，m≠n，∴a_m≠a_n．所以⑤正確
所以正確的命題序號為②③④⑤
故答案為：②③④⑤

點評：本題以命題為載體，考查數列的性質，解題時需要謹慎思考，一一判斷．