Question

已知函數f(x)=x+

a2

x

，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函數h（x）=f（x）+g（x）的極值點，求實數a的值；
（Ⅱ）是否存在正實數a，使對任意的x₁，x₂∈[1，e]（e為自然對數的底數）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數極值點的導數等于0，且此點的左側和右側導數的符號相反，求得實數a的值．
（2）問題等價于對任意的x₁，x₂∈[1，e]時，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，分類討論，利用導數的符號
判斷函數的單調性，由單調性求出函數f（x）的最小值及g（x）]的最大值，根據它們之間的關系求出
實數a的取值范圍．

解答：（1）解：∵h(x)=2x+

a2

x

+lnx，其定義域為（0，+∞），∴h′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

．
∵x=1是函數h（x）的極值點，∴h'（1）=0，即3-a²=0，∵a＞0，∴a=

3

．
經檢驗，當a=

3

時，x=1是函數h（x）的極值點，∴a=

3

．
（2）解：假設存在實數a，對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等價于對任意的x₁，x₂∈[1，e]時，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，當x∈[1，e]時，g′(x)=1+

1

x

＞0．
∴函數g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數．∴[g（x）]_max=g（e）=e+1．
∵f′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，且x∈[1，e]，a＞0，
①當0＜a＜1且x∈[1，e]時，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0，
∴函數f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是增函數．∴[f（x）]_min=f（1）=1+a²．
由1+a²≥e+1，得  a≥

e

，又0＜a＜1，∴a  不合題意．
②當1≤a≤e時，
若1≤x＜a，則f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，若a＜x≤e，則f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0．
∴函數f(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是減函數，在（a，e]上是增函數．
∴[f（x）]_min=f（a）=2a.2a≥e+1，得  a≥

e+1

2

，1≤a≤e，∴

e+1

2

≤a≤e．
③當a＞e且x∈[1，e]時，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
∴函數f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是減函數．∴[f(x)]min=f(e)=e+

a2

e

．
由e+

a2

e

≥e+1，得  a≥

e

，又a＞e，∴a＞e．
綜上所述，存在正實數a的取值范圍為 [

e+1

2

，+∞)．

點評：本題考查函數在某點存在極值的條件，利用導數求函數在閉區間上的最值．