Question

已知{a_n}為等差數列，且a₂＝－1，a₅＝8.
(1)求數列{|a_n|}的前n項和；
(2)求數列{2ⁿ·a_n}的前n項和．

Answer 1

(1) S_n＝ (2) 20＋(3n－10)×2^n＋1

(1)設等差數列{a_n}的公差為d，因為a₂＝－1，a₅＝8，所以解得a₁＝－4，d＝3，所以a_n＝－4＋3(n－1)＝3n－7，因此|a_n|＝|3n－7|＝,記數列{|a_n|}的前n項和為S_n，
當n＝1時，S₁＝|a₁|＝4，當n＝2時，S₂＝|a₁|＋|a₂|＝5，
當n≥3時，S_n＝S₂＋|a₃|＋|a₄|＋…＋|a_n|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n²－n＋10.
又當n＝2時滿足此式，
綜上，S_n＝
(2)記數列{2ⁿa_n}的前n項和為T_n
則T_n＝2a₁＋2²a₂＋2³a₃＋…＋2ⁿa_n,2T_n＝2²a₁＋2³a₂＋2⁴a₃＋…＋2ⁿa_n－1＋2^n＋1a_n，
所以－T_n＝2a₁＋d(2²＋2³＋…＋2ⁿ)－2^n＋1a_n
由(1)知，a₁＝－4，d＝3，a_n＝3n－7，所以－T_n＝－8＋3×－＝－20－(3n－10)×2^n＋1，故T_n＝20＋(3n－10)×2^n＋1.