Question

已知點F（1，0），直線l：x=-1，動點P到點F的距離等于點P到直線l的距離，動直線PO與直線l交于動點N，過N且平行于x軸的直線與動直線PF交于動點Q．
（Ⅰ）求證：動點P、Q在同一條曲線C上運動；
（Ⅱ）曲線C在點P處的切線與直線l交于點R，M為線段PQ的中點．
（1）求證：直線RM∥x軸；
（2）若直線RM平分∠PRF，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線的定義，可判斷P點在拋物線y²=4x上，所以要想證明動點P、Q在同一條曲線C上運動，只需證明Q點也在拋物線y²=4x上即可，利用Q點為過N且平行于x軸的直線與動直線PF的交點，帶著參數求出Q點坐標，證明不論參數為何值，Q點都滿足拋物線y²=4x方程，就可證明在拋物線y²=4x上．
（Ⅱ）（1）欲證直線RM∥x軸，只需證明R，M兩點的縱坐標相等．利用導數求出拋物線在P點處的切線斜率，得到切線方程，再與直線l：x=-1聯立，解出R點坐標，用中點坐標公式求出M點坐標，觀察縱坐標是否相同即可．
（2）由于直線RM平分∠PRF，且RM∥x軸，可得幾何條件|AR|=|RF|，由（1）中直線PR的方程，表示出R點坐標，依幾何條件列方程可求得點P的坐標，最后由兩點式寫出所求直線方程

解答：解：（I）點P在曲線C：y²=4x上
令P(

y 2 1

4

，y1)，OP：y=

4

y1

x，N(-1，-

4

y1

)
Q(

4

y12

，-

4

y1

)
NQ：y=-

4

y1

，PF：y=

4y1

y12-4

(x-1)
將直線NQ的方程代入直線PF的方程消去y₁，得y²=4x
∴點Q在曲線C上．
（II）
（1）∵y=2

x

，y′=

1

x

，kPR=

2

y1

∴PR：y-y1=

2

y1

(x-

y 2 1

4

)
∴R：(-1，

y1

2

-

2

y1

)，M(

y12

8

+

2

y12

，

y1

2

-

2

y1

)
顯然RM∥x軸
(2)PR與x軸交于A(-

y 2 1

4

，0)
若RM平分∠PRF，且RM∥x軸
∴|AR|=|RF|
即

y 2 1

4

-1=2，

y

2 1

=12
∵y1＞0∴y1=2

3

∴P（3，2

3

），又F（1，0）
∴PF：y=

3

(x-1)
即直線PQ的方程為y=

3

(x-1)

點評：本題綜合考察了拋物線的標準方程和幾何性質，直線與拋物線的關系，解題時要學會通過恰當設點的坐標進行證明和計算，要學會將幾何條件進行轉化，便于證明和計算