Question

如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四邊形ADEF為正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.記CD=x,V(x)表示四棱錐F-ABCD的體積.

(1)求V(x)的表達式.

(2)求V(x)的最大值.

 

Answer 1

(1) V(x)= x(0<x<2) (2)

【解析】【思路點撥】利用體積公式得到V(x)的表達式,然后根據基本不等式或函數的知識求最大值.

【解析】
(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交線為AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.

∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,

∴FA=2,BD=(0<x<2),

∴S?ABCD=CD·BD=x,

∴V(x)=S?ABCD·FA=x(0<x<2).

(2)方法一:要使V(x)取得最大值,只需x=(0<x<2)取得最大值,

∵x2(4-x2)≤()2=4,

∴V(x)≤×2=.

當且僅當x2=4-x2,即x=時等號成立.

故V(x)的最大值為.

方法二:V(x)=x=

=.

∵0<x<2,∴0<x2<4,∴當x2=2,即x=時,V(x)取得最大值,且V(x)max=.