Question

已知數列a，b，c是各項均為正數的等差數列，公差為d（d＞0），在a，b之間和b，c之間共插入n個實數，使得這n+3個數構成等比數列，其公比為q．
（I）求證：|q|＞1；
（II）若a=1，n=1，求d的值．

Answer 1

（1）由題意知qn+2=

c

a

，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得qn+2=

c

a

=1+

2d

a

＞1
即|qⁿ⁺²|＞1，故|q|ⁿ⁺²＞1，又n+2是正數，故|q|＞1．
（2）由a，b，c是首項為1、公差為d的等差數列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的這一個數位于a，b之間，則1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得（1+2d）²=（1+d）³，即d³-d²-d=0，其正根為d=

1+ 5

2

若插入的這一個數位于b，c之間，則1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得1+2d=（1+d）³，即d³+3d²+d=0，此方程無正根．
故所求公差d=

1+ 5

2