Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）其中λ為實數，且λ≠-18，n為正整數．
（Ⅰ）求證：{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）設0＜a＜b，S_n為數列{b_n}的前n項和．是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比數列定義，只要證出

bn+1

bn

是一個與n無關的常數即可．
（Ⅱ）根據前面的運算寫出數列的前n項和，把不等式寫出來觀察不等式的特點，構造新函數，根據函數的最值進行驗證，注意n的奇偶情況要分類討論

解答：解：（Ⅰ）∵

bn+1

bn

=

(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]

(-1)n(an-3n+21)

=-

( 2 3 an+n-4)-3(n+1)+21

an-3n+21

=-

2 3 an-2n+14

an-3n+21

=-

2

3

∴{b_n}是以-

2

3

為公比的等比數列；且首項為b₁=-（λ+18）．
（Ⅱ）S_n=

-(λ+18)[1-(- 2 3 )n]

1-(- 2 3 )

=

-3(λ+18)[1-(- 2 3 )n]

5

要使a＜S_n＜b對任意正整數n成立，
即a＜

-3(λ+18)[1-(- 2 3 )n]

5

＜b（n∈N⁺），
變形為

a

1-(- 2 3 )n

＜

-3(λ+18)

5

＜

b

1-(- 2 3 )n

令f（n）=1-(-

2

3

)n   ①
當n為正奇數時，1＜f（n）≤

5

3

；當n為正偶數時，

5

9

≤f（n）＜1，
∴f（n）的最大值為f（1）=

5

3

，f（n）的最小值為f（2）=

5

9

，．
于是，由①式得

9

5

a＜

-3(λ+18)

5

＜

3

5

b，-18-3a＞λ＞-18-b．
當a＜b≤3a時，由-b-18≥=-3a-18，不存在實數滿足題目要求；
當b＞3a存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）

點評：本小題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力．可以作為一套卷的壓軸題．