Question

注意：第（3）小題平行班學生不必做，特保班學生必須做．
已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線x²=4y的焦點，離心率e=

2

5

，過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點M（m，0）是線段OF上的一個動點，且(

MA

+

MB

)⊥

AB

，求m的取值范圍；
（3）設點C是點A關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，把拋物線方程整理成標準方程，求得焦點的坐標，進而求得橢圓的一個頂點，即b，利用離心率求得a和c關系進而求得a，則橢圓的方程可得．
（2）設直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），代入橢圓方程，利用韋達定理結合向量的數量積公式，即可求得m的取值范圍；
（3）確定直線BC的方程，令y=0，結合A，B在l的方程y=k（x-2）上，即可求得結論．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
拋物線方程化為x²=4y，其焦點為（0，1）則橢圓C的一個頂點為（0，1），即b=1
由e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

5

，∴a²=5，
所以橢圓C的標準方程為

x2

5

+y²=1；
（2）由（1）得F（2，0），則0≤m≤2
設直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），代入橢圓方程，消去y可得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

20k2

5k2+1

，x₁x₂=

20k2-5

5k2+1

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∵(

MA

+

MB

)⊥

AB

∴(

MA

+

MB

)•

AB

=0
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0
∴

20k2

5k2+1

-2m-

4k2

5k2+1

=0
∴k2=

m

8-5m

∴k2=

m

8-5m

＞0
∴0＜m＜

8

5

∴當0＜m＜

8

5

時，(

MA

+

MB

)⊥

AB

；
（3）在x軸上存在一個定點N，使得C、B、N三點共線
由題意C（x₁，-y₁），∴直線BC的方程為y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)
令y=0，則x=

y1x2+y2x1

y2+y1

∵A，B在l的方程y=k（x-2）上
∴y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）
∴x=

y1x2+y2x1

y2+y1

=

2kx1x2-2k(x1+x2)

k(x1+x2)-4k

=

2k× 20k2-5 5k2+1 -2k× 20k2 5k2+1

k× 20k2 5k2+1 -4k

=

5

2

∴在x軸上存在一個定點N（

5

2

，0），使得C、B、N三點共線．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．