Question

已知橢圓：的左、右焦點分別為離心率，點在且橢圓E上,

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍.

（Ⅲ）試用表示的面積，并求面積的最大值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,

橢圓E的方程為                     -------------------4分

（Ⅱ）設直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),

代入+y²=1,整理得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0.

∵直線AB過橢圓的右焦點,

∴方程有兩個不等實根.

記A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中點N(x₀,y₀),則x₁+x₁=

              ---------------6分

  AB垂直平分線NG的方程為  令y=0，得

     ----------------8分

∵               ∴的取值范圍為.  -------10分

（Ⅲ）.

而，

由，

可得,,．

所以．

又，所以

（）.---12

設，則．

可知在區間單調遞增，在區間單調遞減．

所以，當時，有最大值．

所以，當時，△的面積有最大值．

【解析】略