Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一正方形.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求
（為原點(diǎn)）面積的最大值.

Answer 1

（1）(2) 面積的最大值為.

解析試題分析：（1）由已知得，再根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程即可.
(2)設(shè)
當(dāng)直線的斜率為時(shí),可得，由，得到
；
當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，將的方程為與橢圓方程聯(lián)立，
整理得，
由, 得到
應(yīng)用韋達(dá)定理，，化簡(jiǎn)得到    
代入，得到；
通過(guò)確定原點(diǎn)到直線的距離為，得到 求其最值.
試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成正方形，∴， ∴，            2分
又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，
∴故所求橢圓方程為                 4分
(2)設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/84/2/1zstk3.png" style="vertical-align:middle;" />的垂直平分線通過(guò)點(diǎn)， 顯然直線有斜率，
當(dāng)直線的斜率為時(shí),則的垂直平分線為軸，此時(shí)
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ef/b/gqnmc1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為，      7分
當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，則設(shè)的方程為
所以，代入得到           8分
當(dāng),   即                          
方程有兩個(gè)不同的解又，          10分
所以，又，化簡(jiǎn)得到    
代入，得到