Question

（2011•聊城一模）已知A，B是單位圓（O為圓心）上的兩個定點，且∠AOB=60°，若C為該圓上的動點，且

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，則xy的最大值為（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：由

OC

=x

OA

+y

OB

，且向量的模都是1，

OA

•

OB

=

1

2

，平方可得1=x²+y²+xy≥3xy，再由x，y∈[0，1]，
可得xy的范圍．

解答：解：由

OC

=x

OA

+y

OB

⇒

OC

2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

•

OB

，
又|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=

1

2

∴1=x²+y²+xy≥3xy，得xy≤

1

3

，
而點C在以O為圓心的圓弧

AB

上變動，得x，y∈[0，1]，
于是，0≤xy≤

1

3

，
故選D．

點評：此題是中檔題．本題考查兩個向量的數量積的定義以及基本不等式的應用，體現了數形結合的數學思想．