Question

(本題滿分12分)二次函數f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在區間[2a，a＋1]上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

(1) f(x)＝2x²－4x＋3.(2) 0<a<.

本試題主要是考查了二次函數的性質和解析式的求解，以及函數單調性的綜合運用。
現根據已知條件，得到對稱軸x=1，然后∵f(x)最小值為1，∴可設f(x)＝a(x－1)²＋1　(a>0)，根據已知的函數f(0)＝f(2)＝3.，得到a=2,進而得到解析式，并利用對稱軸來判定參數的取值范圍。
解：(1)∵f(x)為二次函數且f(0)＝f(2)，∴對稱軸為x＝1.
又∵f(x)最小值為1，∴可設f(x)＝a(x－1)²＋1　(a>0)
∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)²＋1，即f(x)＝2x²－4x＋3.
(2)由條件知2a<1<a＋1，∴0<a<.