Question

若二項式(

tanθ

x

-x)6（θ為常數）的展開式中常數項為160，則tan2θ的值是

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為0求出r的值；將r的值代入通項求出展開式的常數項，列出方程，求出tanθ；利用二倍角公式求出tan2θ．

解答：解：二項展開式的通項為T_r+1=（-1）^r（tanθ）^6-rC₆^rx^2r-6
令2r-6=0得r=3
所以展開式的常數項為-（tanθ）³C₆³．
∴-（tanθ）³C₆³=160
解得tanθ=-2．
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

-4

1-4

=

4

3

．
故答案為

4

3

．

點評：在解決二項展開式的特殊項問題時，常利用二項展開式的通項公式求出通項再處理．