Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=3，an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且存在實數λ使得{

an+λ

2n

}為等差數列，則{a_n}的通項公式是a_n=

n•2ⁿ+1

．

Answer 1

分析：先假設存在一個實數λ符合題意，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關的常數，整理

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

即可求出實數λ，進而求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：假設存在一個實數λ符合題意，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關的常數
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

①
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是與n無關的常數，則

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一個實數λ=-1，使得數列{

an+λ

2n

}為等差數列
由①知數列{

an+λ

2n

}的公差d=1，
∴

an-1

2n

=

a1-1

21

+（n-1）•1=n．
得a_n=n•2ⁿ+1
故答案為：n•2ⁿ+1．

點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用以及等差關系的確定．解決問題的關鍵在于由數列{

an+λ

2n

}為等差數列，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關的常數，進而求出對應實數λ的值．