Question

已知函數, ,,、.
(Ⅰ)若，判斷的奇偶性；
(Ⅱ) 若，是偶函數，求;
（Ⅲ）是否存在、，使得是奇函數但不是偶函數？若存在，試確定與的關系式；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）是非奇非偶函數.（Ⅱ）；（Ⅲ）存在、滿足時，是奇函數但不是偶函數.

試題分析：(Ⅰ) 方法一（定義法）：

.             2分
所以是非奇非偶函數.           3分
方法二（特殊值法）：由知不是奇函數.     1分
又由，知不是偶函數.     2分
所以是非奇非偶函數.    3分
(Ⅱ) 方法一（定義法）：，
偶函數，， 
 ，     5分
 ， .             6分                                
方法二（特殊值法）：為偶函數
所以
所以   5分
 ，，經驗證滿足題意.    6分
（Ⅲ）方法一:假設存在、，使得是奇函數.
由得，，所以.
由知，.
又，故或，
即或.  8分
當時，=+
=+=-=0，
此時既是奇函數又是偶函數.不合題意，舍去.    9分
當時，=+
=+=-=
此時是奇函數但不是偶函數.
綜上，存在、滿足時，是奇函數但不是偶函數.    10分
方法二:假設存在、，使得是奇函數.
由得，
化簡整理得，,從而.下同方法一.
點評：(1)此題主要考查三角函數的奇偶性。判斷一個函數奇偶性的步驟：一求函數的定義域，看定義域是否關于原點對稱；二判斷。有時，若的關系不好判斷時，可以根據定義域進行化簡。(2) 若函數為偶函數，則；若函數為奇函數，則。