Question

（2013•聊城一模）某校高三年級文科共有800名學生參加了學校組織的模塊測試，教務處為了解學生學習情況，采用系統抽樣的方法，從這800名學生的數學成績中抽出若干名學生的數學成績．
并制成如下頻率分布表：

分組	頻數	頻率
[70，80）	4	0.04
[80，80）	6	0.06
[90，100）	20	0.20
[100，110）	22	0.22
[110，120）	18	b
[120，130）	a	0.15
[130，140）	10	0.10
[140，150）	5	0.05
合計	c	1

（I）李明同學本次數學成績為103分，求他被抽取的概率P；
（Ⅱ）為了解數學成績在120分以上的學生的心理狀態，現決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學生的成績，并從這6名學生中再隨機抽取2名，與心理老師面談，求第七組至少有一名學生與心理老師面談的概率’
（Ⅲ）估計該校本次考試的數學平均分．

Answer 1

分析：（I）根據各組的頻率之和等于1，可得b的值，根據某一組的頻數和頻率求得樣本容量c的值，從而求得a的值．再由每個個體被抽到的概率都相等，
可得李明同學被抽到的概率為

1

8

．
（Ⅱ）求得從第七組抽取的人數為2．從這6名學生中再隨機抽取2名，所有的抽取方法共有

C

2 6

種，而第七組沒有學生被抽到的方法有

C

2 4

種，
由此求得第七組沒有學生被抽到的概率，再用1減去此概率，即得所求．
（Ⅲ）用每一組的平均值乘以該組的頻率，相加，即得該校本次考試的數學平均分的估計值．

解答：解：（I）根據各組的頻率之和等于1，可得b=0.15，根據

4

c

=0.04，解得樣本容量c=100，故a=15．
再由每個個體被抽到的概率都相等，都等于

100

800

=

1

8

，可得李明同學被抽到的概率為

1

8

．
（Ⅱ）第六、七、八組共有30個樣本，用分層抽樣方法抽取6名學生的成績，每個個體被抽到的概率為

6

30

=

1

5

，
故從第七組抽取的人數為 10×

1

5

=2．
從這6名學生中再隨機抽取2名，所有的抽取方法共有

C

2 6

=15種，而第七組沒有學生被抽到的方法有

C

2 4

=6種，
故第七組沒有學生被抽到的概率為

6

15

=

2

5

，故第七組至少有一個學生被抽到的概率為 1-

2

5

=

3

5

．
（Ⅲ）估計該校本次考試的數學平均分為 75×0.04+85×0.06+95×0.2+105×0.22+115×0.15+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110.4分．

點評：本題主要考查古典概率及其計算公式，頻率分步表的應用，事件和它的對立事件概率間的關系，屬于基礎題．